1静力学基本概念
力 · 刚体 · 平衡 · 力系这四个概念是整章的语言基础。特别注意"刚体"和"平衡"都是理想化模型，不是现实物体的简单描述。
一、力的概念
定义：力是物体间的相互机械作用，这种作用可以改变物体的运动状态。
力的两种效应
- 运动效应（外效应）——改变物体的运动状态，是静力学研究的主对象。
- 变形效应（内效应）——使物体发生变形，属于材料力学范畴。
力的三要素
大小、方向、作用点（对刚体则可简化为"大小、方向、作用线"，见力的可传性）。
二、刚体 三、平衡 四、力系
刚体
在力的作用下，大小和形状都不变的物体。它是静力学最基本的理想化模型。
平衡
物体相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线运动的状态。
力系与平衡力系
- 力系：作用在物体上的一群力。
- 平衡力系：物体在力系作用下处于平衡，就称这个力系为平衡力系。
2静力学公理
5 条公理，逐条对应一个用途公理无需证明，但要知道它们各自"负责"什么。下面每一条都标出了它在做题时的实际用途—— 这才是真正需要记住的部分。
公理 1 二力平衡公理
用途：判断二力杆作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是：
三条说明（考试爱考）
- 对刚体来说，上述条件是充要的。
- 对变形体（或多体）来说，上述条件只是必要条件——例如一根绳子两端受等值反向拉力能平衡，但两端受等值反向压力就不行（绳子不能受压）。
- 二力体（二力杆）：只在两个力作用下平衡的刚体叫二力体。两端铰接、中间不受力、自重不计的直杆即为二力杆，其两端约束力必沿两铰连线。
公理 2 加减平衡力系原理
用途：力的可传性在已知力系上加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。
因此，对刚体来说，力的三要素变为：大小、方向、作用线。这样的量称为滑动矢量。
公理 3 力的平行四边形法则
用途：力系合成作用于物体上同一点的两个力可合成一个合力，此合力也作用于该点；合力的大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的平行四边形的对角线表示。
这是矢量加法的几何表述，也是力系合成与分解的理论基础。由它还可以推出三角形法则与力多边形规则。
公理 4 作用力和反作用力定律
用途：受力图成对画箭头两个物体之间的作用力与反作用力，总是大小相等、方向相反、沿同一直线，分别作用在两个不同物体上。
与公理 1 的区别（最常考）
| 对比项 | 公理 1 二力平衡 | 公理 4 作用反作用 |
|---|---|---|
| 作用对象 | 同一个刚体 | 两个不同物体 |
| 等值反向共线 | 是 | 是 |
| 能否求合力 | 能（合力为零） | 不能，不在同一物体上 |
| 是否要求平衡 | 要求物体平衡 | 与平衡无关，任何情况都成立 |
公理 3 推论 2 的证明思路
设三力 F₁, F₂, F₃ 使刚体平衡。取 F₁, F₂ 的合力 R， 则由公理 3 知 F₁, F₂, R 与 F₁, F₂, F₃ 等效。因为原力系为平衡力系， 所以 F₁, F₂, F₃ 也为平衡力系；再由二力平衡公理知 R 与 F₃ 必等值、反向、共线， 故三力必汇交且共面。
公理 5 刚化原理
用途：允许用刚体方法解变形体题变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体变成刚体（刚化为刚体），则平衡状态保持不变。
3两条重要推论
做题时用得最频繁的两条力的可传性
作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一点，而不改变该力对刚体的效应。
- 由公理 2（加减平衡力系原理）导出。
- 结论：对刚体，力是滑动矢量。
- 用途：分析三力汇交时，常把两个力的作用线延长到交点。
三力平衡汇交定理
刚体受三力作用而平衡，若其中两力作用线汇交于一点，则另一力的作用线必汇交于同一点，且三力的作用线共面。
用途：已知两个力的方向时，可定出第三个力（通常是铰链约束力）的作用线，把方向问题变成一维问题。
4约束与约束反力
自由体 · 非自由体 · 约束 · 约束反力四个基本定义
- 自由体：位移不受限制的物体。
- 非自由体：位移受限制的物体。
- 约束：对非自由体的某些位移预先施加的限制条件称为约束。
（注意：这里约束是名词，不是动词的"约束"。） - 约束反力（约束力）：约束给被约束物体的力。
确定约束力方向的原则
从力学角度看，约束对物体的作用实际上就是力。这个力称为约束力，它的方向确定原则是：
用这个原则确定约束力的方向；而约束力的大小是未知的—— 约束力和已知的主动力组成平衡力系，用平衡条件求出约束力的大小。
约束反力的四个特点
- 大小常常是未知的；
- 方向总是与约束所限制的物体位移方向相反；
- 作用点在物体与约束相接触的那一点；
- 约束力和已知的主动力组成平衡力系，用平衡条件求出约束力。
5约束类型对照表
看到约束 → 立刻反应出约束力长什么样下面这张表是本章最有实用价值的内容。做题时顺着"约束 → 约束力个数与方向"往下查， 不要凭感觉画箭头。手机端可左右滑动查看完整表格。
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| 约束类型 | 典型实物 | 限制了哪些位移 | 约束反力的表示 |
|---|---|---|---|
| ① 光滑接触面 光滑 = 摩擦不计 |
支承面、光滑斜面、齿轮齿面 | 沿接触面法向压入的位移 | 1 个力 N：作用在接触点，方向沿公法线，指向受力物体（被约束的物体）。称为法向约束力。 |
| ② 柔索 绳索、链条、胶带 |
吊绳、皮带、链条传动 | 沿绳索伸长方向的位移（只能受拉） | 1 个力 T：作用在接触点，方向沿绳索背离物体。绕在轮上时，对轮子的约束力沿轮缘切线方向。 |
| ③ 向心轴承 径向轴承 |
轴与轴承孔配合 | 轴沿径向向外的位移（可任意转动、可轴向移动） | 方向不能预先确定（接触点随主动力变化），但作用线必垂直轴线并通过轴心。 → 用两个正交分力 FAx, FAy 表示，指向暂时假定。 |
| ④ 圆柱铰链 中间铰 |
两构件用销钉连接 | 两构件间相对移动（可相对转动） | 2 个正交分力 XA, YA，方向未知，可任意假定。 |
| ⑤ 固定铰链支座 | 用销钉固定在墙/地上的支座 | 构件端点在平面内的两个方向移动 | 2 个正交分力 XA, YA（或记 FAx, FAy）。 |
| ⑥ 活动铰支座 辊轴支座 |
支座下带辊轴、可沿支承面滚动 | 只能限制垂直于支承面的位移 | 1 个力：沿支承面法线方向。 注意：其实际方向也可以向下（取决于受力），不要默认向上。 |
| ⑦ 固定端 插入端 · 见于第 2 章 |
悬臂梁嵌固在墙内、雨搭 | 限制物体平动与转动 | 2 个力 + 1 个力偶矩：Fx, Fy, MA |
6物体的受力分析和受力图
本章的核心产出什么是受力分析
解决力学问题时，首先要选定需要进行研究的物体，即选择研究对象；然后根据已知条件、约束类型， 并结合基本概念和公理分析它的受力情况，这个过程称为物体的受力分析。
作用在物体上的力分两类
- 一类是主动力——如重力、风力、气体压力等。
- 二类是被动力——即约束反力。
画受力图的四个步骤
单个物体，或由几个物体组成的系统。根据需要选择。
把它从周围约束中单独取出，画出简图。
重力、载荷 F、分布力 q 等已知力。
按约束类型逐个确定方向与个数。
判断的技巧（来自课件例题的共性）
- 先找二力杆：两端铰接、中间不受力、自重不计的直杆 → 力沿两铰连线，只剩大小未知。
- 再用三力平衡汇交定理：若研究对象只受三个力，已知两力作用线交于一点，第三力必过该点。
- 作用反作用配对：铰链处的力在两个物体上大小相等、方向相反。
- 整体与局部一致：同一系统各研究对象的受力图必须整体与局部一致，不能相互矛盾。
- 尖点问题：物体以尖点接触时，尖点处应去掉约束（不能算作有效约束面）。
7典型例题类型
课件中的六类受力图题下面按"题 → 关键点 → 结论"的方式整理课件中的受力图例题，方便自查是否掌握了每类的处理套路。
圆球 O 和杆 AB 的受力图
画出圆球 O 和杆 AB 的受力图。
关键点
- 圆球与地面、与斜面（或墙）接触 → 各有一个法向约束力，沿公法线指向球心。
- 圆球还受重力 G，作用于球心。
- 杆 AB 若在 A、B 两端铰接且中间不受力 → 可能是二力杆，力沿 AB 连线。
拉碾子压平路面（不计摩擦）
用力 F 拉动碾子压平路面，不计摩擦力，画出碾子受力图。
关键点
- 碾子 = 圆，与地面接触点为光滑接触面约束 → 法向力沿半径方向（过圆心）。
- 主动力：重力 G（过圆心向下）、拉力 F；若 F 不在中心，还要注意它是否产生绕心转动的趋势（第 2 章会在同样模型上求 F）。
- 此题在第 2 章会继续用来求"水平力 F 的大小和碾子对障碍物的压力"，是两章衔接的经典题。
屋架受力图 / 杆 CD 与梁 AB（含电机）
画出屋架受力图；画出杆 CD 和梁 AB（包括电机）的受力图。
关键点
- 屋架属对称结构，支座为活动铰支座（各 1 个法向力）+ 固定铰支座（2 个分力）。
- "包括电机"意味着把电机与梁视为一个研究对象：它们之间的力是内力，不必画出。
- 杆 CD 两端铰接 → 二力杆。
三铰拱桥（不计自重及摩擦）
三铰拱桥由左、右两拱铰接而成。不计自重及摩擦，在拱 AC 上作用有载荷 F。试分别画出拱 AC 和 CB 的受力图。
关键点
- 拱 CB 只在 C、B 两处铰接受力、自重不计、中间无载荷 → 二力构件！于是 B 处与 C 处的力都沿 BC 连线。
- 拱 AC 上作用 F，C 处受到的是 CB 给它的反作用力——大小相等、方向沿 BC 连线且相反。
- 接着对拱 AC 用三力平衡汇交定理：F 与 C 处力作用线交于一点，A 处（固定铰支座）约束力的作用线必过该交点。
- A 处虽然是固定铰支座（2 个分力），但因方向已定，实质只需 1 个未知量。
梯子 AB、AC 与水平绳 DE
梯子的两部分 AB 和 AC 在点 A 铰接，又在 D、E 两点用水平绳连接。梯子放在光滑水平面上， 若其自重不计，但在 AB 的中点 H 处作用一铅直载荷 F。试分别画出绳子 DE 和梯子的 AB、AC 部分以及整个系统的受力图。
关键点（这是"整体—局部—绳索"三层研究对象）
- 整个系统：地面光滑 → 两个法向力；外力有 F。绳子 DE 的拉力是内力，不画。
- 绳子 DE：柔索只能受拉 → 两端各一个沿绳方向的拉力。
- 局部 AB（或 AC）：除了地面的法向力、A 处铰链分力、绳端拉力，还要注意 H 处的载荷 F 只作用在 AB 上。
- 三四层图必须自洽：A 处两半分力等值反向、绳端拉力等值反向。
多构件系统与"尖点问题"
画出各构件的受力图（含 Q、A、O、B、C、D、E 的复杂机构）。
关键点
- 逐个构件找铰链 → 每个铰链处用2 个正交分力，并注意两构件间的作用反作用。
- 注意哪些构件是二力杆（能大幅简化）。
- 尖点问题：当一物体以尖点（端点）与其他面接触时，该处应去掉约束——尖点不能形成有效的光滑接触面约束。
8画受力图必须注意的八条
正确画受力图是分析、解决力学问题的基础必须明确研究对象
根据需要，可以取单个物体为研究对象，也可以取由几个物体组成的系统为研究对象。不同的研究对象的受力图是不同的。
正确确定受力的数目
力是物体之间相互的机械作用，对每一个力都应明确它是哪一个施力物体施加给研究对象的，决不能凭空产生。
同时也不可漏掉一个力。一般可先画已知的主动力，再画约束力；凡是研究对象与外界接触的地方，都一定存在约束力。
正确画出约束力
一个物体往往同时受到几个约束的作用，这时应分别根据每个约束本身的特性来确定其约束力的方向，而不能凭主观臆测。
遵循作用、反作用关系
分析两物体间相互的作用力时，若作用力的方向一经假定，则反作用力的方向应与之相反。
画某个系统的受力图时，由于内力成对出现、组成平衡力系，因此不必画出，只需画出全部外力。
不要多画力
要注意力是物体之间的相互机械作用。对于受力体所受的每一个力，都应能明确地指出它是哪一个施力体施加的。
不要漏画力
除重力、电磁力外，物体之间只有通过接触才有相互机械作用力。要分清研究对象（受力体）都与周围哪些物体（施力体）相接触，接触处必有力，力的方向由约束类型而定。
不要画错力的方向
约束反力的方向必须严格按照约束的类型来画，不能单凭直观或根据主动力的方向来简单推想。作用力的方向一旦确定，反作用力的方向一定要与之相反，不要把箭头方向画错。
受力图上不能再带约束
即受力图一定要画在分离体上。原来支撑物体的地面、墙、支座都不应再画出来，只保留它们施加的力。
两条整体性要求
- 受力图上只画外力，不画内力。一个力属于外力还是内力，因研究对象的不同而可能不同。当物体系统拆开来分析时，原系统的部分内力就成为新研究对象的外力。
- 同一系统各研究对象的受力图必须整体与局部一致，相互协调，不能相互矛盾。对于某一处的约束反力的方向一旦设定，在整体、局部或单个物体的受力图上要与之保持一致。
图本章思维导图
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1静力学基本概念
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力物体间的相互机械作用
- 两种效应：运动效应（外效应）、变形效应（内效应）
- 三要素：大小、方向、作用点
- 单位：N、kN；1 kg 物体受 9.8 N 重力
- 刚体大小形状都不变的物体
- 平衡相对惯性参考系静止或匀速直线运动
- 力系 / 平衡力系一群力 / 使物体平衡的力系
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力物体间的相互机械作用
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2静力学公理（5 条）
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公理 1二力平衡公理
- 等值、反向、共线、同一刚体
- 对刚体是充要条件；对变形体只是必要条件
- 二力体（二力杆）：只在两个力作用下平衡的刚体
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公理 2加减平衡力系原理
- 加/减平衡力系不改变对刚体的作用
- ⇒ 推论 1：力的可传性
- 对刚体力的三要素：大小、方向、作用线（滑动矢量）
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公理 3力的平行四边形法则
- R = F₁ + F₂，对角线表示合力
- ⇒ 推论 2：三力平衡汇交定理（三力共面且汇交）
- 特殊情况：三力平行时在无穷远处汇交
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公理 4作用力和反作用力定律
- 等值、反向、共线、异体、同时存在
- 与公理 1 的区别：同体 vs 异体，不能求合力
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公理 5刚化原理
- 平衡的变形体刚化后仍平衡
- ⇒ 平衡变形体可用刚体平衡理论求解
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公理 1二力平衡公理
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3约束与约束反力
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基本定义自由体 / 非自由体 / 约束 / 约束反力
- 约束 = 对某些位移预先施加的限制条件（名词）
- 约束反力 = 约束给被约束物体的力
- 方向原则与所能阻碍的位移方向相反
- 四个特点大小未知 / 方向与位移相反 / 作用点在接触点 / 由平衡条件求大小
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约束类型（七类）
- ① 光滑接触面：1 个力，沿公法线指向受力物体
- ② 柔索：1 个力，沿绳索背离物体，只能受拉；绕轮时沿轮缘切线
- ③ 向心轴承：作用线过轴心且垂直轴线 → 用 FAx, FAy 表示
- ④ 圆柱铰链：2 个正交分力 X, Y
- ⑤ 固定铰支座：2 个正交分力 XA, YA
- ⑥ 活动铰支座（辊轴）：1 个法向力，方向可能向下
- ⑦ 固定端：Fx, Fy, MA（2 力 + 1 力偶矩）
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基本定义自由体 / 非自由体 / 约束 / 约束反力
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4物体的受力分析与受力图
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受力分析选研究对象 → 结合约束类型与公理分析受力
- 主动力：重力、风力、气体压力等
- 被动力：约束反力
- 四步法①选研究对象 ②取分离体 ③画主动力 ④画约束反力
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八条注意
- 明确研究对象（不同对象受力图不同）
- 正确确定受力数目：先主动力后约束力；接触处必有力
- 按约束特性画约束力，不能主观臆测
- 遵循作用反作用关系；内力不画
- 不多画力 / 不漏画力
- 不画错力的方向
- 受力图上不能再带约束（画在分离体上）
- 只画外力；整体与局部必须一致协调
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关键技巧
- 二力杆：两端铰接、中间不受力、自重不计 → 力沿连线
- 三力平衡汇交：定出第三个力的作用线
- 尖点问题：尖点处应去掉约束
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受力分析选研究对象 → 结合约束类型与公理分析受力
测自测题
点击题目查看解析二力平衡公理与作用力反作用力定律都要求"等值、反向、共线"，它们的根本区别是什么？
根本区别在于作用对象：
- 二力平衡公理：两个力作用在同一个刚体上，此时两个力的合力为零，物体平衡。
- 作用力反作用力定律：两个力分别作用在两个不同的物体上（异体），它们不能求合力，也不涉及平衡问题——无论物体是否平衡，这一定律都成立。
另外，二力平衡只对刚体是充要条件，对变形体只是必要条件；而作用反作用定律对任何物体（刚体、变形体）都普遍成立。
"力的可传性"说力可以移到刚体内任一点，为什么强调"沿作用线"而不能平行移动？
因为力的可传性是由加减平衡力系原理导出的：在力的作用线上某点加上一对等值反向共线的力（平衡力系），再与原来的力抵消其中一个，剩下的等效于原力沿作用线平移。
整个过程只能沿作用线进行。如果把力平行移到作用线之外的点，力的作用效果会发生变化——多出一个力偶（这正是第 2 章力的平移定理的内容：平行移动必须同时附加一个力偶矩 M = F·d）。
所以：对刚体，力是滑动矢量，不是自由矢量。
为什么光滑铰链的约束反力方向"不能预先确定"，要用两个正交分力表示？
以向心轴承为例：轴和孔的接触点位置随主动力的不同而变化。主动力未定时，接触点在哪都不知道，自然无法确定约束力方向。
但有一个确定的性质：无论约束力朝向哪个方向，它的作用线必垂直轴线并通过轴心。
既然作用线过轴心而方向不定，最方便的处理方式就是把它分解为通过轴心的两个大小未知的正交分力 FAx, FAy，指向暂时假定，最后由平衡方程解出——若结果为负，说明实际方向与假定相反。
三铰拱桥中，为什么拱 CB 可以判定为二力构件？这对画拱 AC 的受力图有什么帮助？
判定依据：拱 CB 只在 C、B 两处通过铰链与其他物体连接，且题设不计自重、中间无载荷。因此它只受两个力作用，符合"二力体"定义，B 处和 C 处的约束力都沿 BC 连线。
对拱 AC 的帮助：C 处受到的力是 CB 给它的反作用力，于是这个力方向已定（沿 BC 连线，与 CB 受的力相反）。此时拱 AC 上作用着载荷 F、C 处的力，用三力平衡汇交定理即可定出 A 处约束力的作用线（必过 F 与 C 处力的交点）——A 处虽然是固定铰支座（形式上 2 个分力），但方向已经确定，实际只剩 1 个未知量。
受力图上为什么不能画出原来的约束（地面、墙、支座）？
因为受力图必须画在分离体上。取分离体的含义就是把研究对象从周围的约束中单独取出——分离之后，原来的约束在物理上已经"不存在"了。
约束的作用完全由它施加的约束反力来体现。如果既画约束又画约束反力，就会造成重复计入，受力数目出错。
正确做法：画出分离体（构件本身的轮廓）→ 画主动力 → 在与外界接触的位置画上对应的约束反力。
梯子问题中，为什么整体受力图不画绳子 DE 的拉力，而局部分析时又要画？
因为内力与外力的划分取决于研究对象：
- 取整个系统（AB + AC + 绳）为研究对象时，绳子拉力是系统内部各物体之间的相互作用力 → 是内力。内力成对出现、组成平衡力系，对系统整体的平衡没有影响 → 不必画出。
- 取单个梯腿 AB 为研究对象时，绳子对 AB 的拉力变成外界施加的力 → 是外力 → 必须画出。
这就是课件强调的："一个力属于外力还是内力，因研究对象的不同，有可能不同。当物体系统拆开来分析时，原系统的部分内力，就成为新研究对象的外力。"
什么是"尖点问题"？画受力图时应如何处理？
当物体以尖点（端点、棱边）与其他物体的表面接触时，接触面积为零，无法形成有效的光滑接触面约束。
处理方式：该处的约束应去掉——即认为此处不产生约束反力，不能画箭头。
判断口诀：光滑接触面约束的前提是"面与面（或面与曲面）接触"；尖点接触时，力的大小和方向无法按公法线确定，故不予考虑。
活动铰支座（辊轴支座）的约束反力方向一定是向上的吗？
不一定。活动铰支座只能限制垂直于支承面的位移，所以约束反力方向沿支承面法线，但具体指向取决于实际受力情况——课件明确指出"其约束反力的实际方向也可以向下"。
画受力图时的正确做法：先假定一个指向（通常习惯向上），由后续的平衡方程解出；若结果为负值，说明实际方向与假定相反。