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工程力学（理论力学）· 静力学
第 1–2 章 知识体系
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1第 1 章 · 静力学基本概念
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力物体间的相互机械作用
- 两种效应：运动效应（外效应）、变形效应（内效应）
- 三要素：大小、方向、作用点
- 单位：N、kN；1 kg 物体受 9.8 N 重力
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刚体在力的作用下大小和形状都不变的物体
- 静力学最基本的理想化模型
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平衡相对惯性参考系静止或作匀速直线运动
- 平衡 ≠ 不动，而是加速度为零
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力系 / 平衡力系
- 力系 = 作用在物体上的一群力
- 平衡力系 = 使物体处于平衡的力系
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力物体间的相互机械作用
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2第 1 章 · 五条公理与两条推论
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公理 1二力平衡公理
- 等值、反向、共线、作用于同一个刚体
- 对刚体是充要条件；对变形体只是必要条件
- 二力体（二力杆）：只在两个力作用下平衡的刚体
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公理 2加减平衡力系原理
- 加上或减去平衡力系，不改变原力系对刚体的作用
- 推论 1 力的可传性：力可沿作用线移到刚体内任一点
- 对刚体，力作用三要素 = 大小、方向、作用线（滑动矢量）
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公理 3力的平行四边形法则
- 同一点的两个力可合成一个合力：R = F₁ + F₂
- 推论 2 三力平衡汇交定理：三力必汇交于一点且共面
- 特殊情况：三力平行时在无穷远处汇交
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公理 4作用力和反作用力定律
- 等值、反向、共线、异体、同时存在
- 与公理 1 的根本区别：同体 vs 异体；作用反作用力不能求合力
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公理 5刚化原理
- 平衡的变形体刚化后，平衡状态保持不变
- ⟹ 处于平衡状态的变形体可用刚体静力学理论求解
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公理 1二力平衡公理
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3第 1 章 · 约束与约束反力
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基本定义
- 自由体位移不受限制 / 非自由体位移受限制
- 约束 = 对非自由体某些位移预先施加的限制条件（名词）
- 约束反力 = 约束给被约束物体的力
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方向原则约束力方向必与所能阻碍的位移方向相反
- 大小未知 → 与主动力组成平衡力系，用平衡条件求
- 作用点 → 物体与约束相接触的那一点
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七类约束看约束 → 报出约束力
- ① 光滑接触面：1 个力，沿公法线指向受力物体（法向约束力）
- ② 柔索（绳、链、带）：1 个力，沿绳索背离物体，只能受拉；绕轮时沿轮缘切线
- ③ 向心轴承：作用线过轴心且垂直轴线 → 用 FAx, FAy 表示
- ④ 圆柱铰链：2 个正交分力 X, Y
- ⑤ 固定铰链支座：2 个正交分力 XA, YA
- ⑥ 活动铰支座（辊轴）：1 个法向力，方向可能向下
- ⑦ 固定端（插入端）：Fx, Fy, MA —— 2 力 + 1 力偶矩
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基本定义
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4第 1 章 · 受力分析与受力图
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受力分析选研究对象 → 结合约束类型与公理分析受力
- 主动力：重力、风力、气体压力等
- 被动力：约束反力
- 四步法① 选研究对象 ② 取分离体 ③ 画主动力 ④ 画约束反力
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八条注意
- 明确研究对象（不同对象受力图不同）
- 正确确定受力数目：先主动力后约束力；接触处必有力
- 按约束特性画约束力，不能主观臆测
- 遵循作用反作用关系；内力成对出现，不必画出
- 不要多画力（每个力都要说得出施力体）
- 不要漏画力（接触处必有力）
- 不要画错力的方向（严格按约束类型）
- 受力图上不能再带约束（必须画在分离体上）
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两个整体性要求
- 只画外力，不画内力；拆开后原内力变成新研究对象的外力
- 整体与局部必须一致、协调，不矛盾
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三个关键技巧
- 二力杆：两端铰接、中间不受力、自重不计 → 力沿两铰连线
- 三力平衡汇交：定出第三个力的作用线
- 尖点问题：尖点处应去掉约束
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受力分析选研究对象 → 结合约束类型与公理分析受力
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5第 2 章 · 平面汇交力系
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力系分类平面力系 / 空间力系
- ① 平面汇交力系：作用线共面且汇交于一点
- ② 平面平行力系（平面力偶系是特殊情况）
- ③ 平面一般力系（任意力系）：既不汇交又不平行
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几何法合成与平衡
- 两共点力：平行四边形法则 / 三角形法则
- 余弦定理：R² = F₁² + F₂² + 2F₁F₂cosα
- 正弦定理：F₁/sinφ = R/sin(180° − α)
- 任意个力：力多边形规则，FR = ΣFi，作用线过汇交点
- 平衡：ΣFi = 0 ⟺ 力多边形自行封闭
- 四步：选对象 → 画受力图 → 作力多边形（从已知力开始）→ 求未知量
- 不足：精度差、作图要求高、不能表达函数关系
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解析法坐标法
- 投影：X = Fcosα，Y = Fsinα；F = √(Fx² + Fy²)
- 合力投影定理：FRx = ΣFix，FRy = ΣFiy
- FR = √(FRx² + FRy²)；方向余弦定方向；作用点为汇交点
- 平衡：ΣFix = 0，ΣFiy = 0 → 2 个独立方程
- 技巧：三力且角度特殊 → 几何法；力多/方向不定 → 解析法；投影轴垂直于未知力；负值 = 方向设反
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力系分类平面力系 / 空间力系
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6第 2 章 · 平面力偶与力对点之矩
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力偶等值、反向、不共线的两个平行力
- 既没有合力（作用点在无穷远处）、本身又不平衡
- 力和力偶是静力学的两个基本力学量
- 力偶臂 d = 两力间的垂直距离；力偶作用面 = 力偶所在平面
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力偶矩M = ±F·d = ±2⊿ABC，单位 N·m
- 两要素：大小（力 × 力偶臂）、方向（转动方向）
- 符号：逆时针为正，顺时针为负
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三条性质
- 力偶在任意坐标轴上的投影等于零
- 保持力偶矩不变，可在作用面内任意转移；也可同时改变力与力臂
- 力偶没有合力，只能由力偶来平衡
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平面力偶系合成与平衡
- 合成结果仍是力偶：MR = ΣMi（代数和）
- 平衡充要条件：ΣM = 0 → 1 个独立方程
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力对点之矩MO(F) = ±F·h = r × F
- 两要素：大小（F·h）、方向（转向）；O 为矩心，h 为力臂
- 是代数量；F = 0 或 h = 0 时为零；单位 N·m / kN·m
- MO(F) = 2⊿AOB；逆时针为正，顺时针为负
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合力矩定理MO(F) = ΣMO(Fi)
- 用途：把斜力分解为分量求矩（径向力过矩心 → 力矩为零）
- 分布力：合力 = 荷载图面积，作用线过形心
均布 ql 在中点；三角 ql/2 在距零端 2l/3
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力偶等值、反向、不共线的两个平行力
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7第 2 章 · 平面任意力系的简化
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力的平移定理力 ⇌ 力 + 力偶
- 把 A 点的力平行移到 B 点，必须附加力偶 M = MB(F) = F·d
- 揭示力与力偶的关系；是力系简化的理论基础
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向一点简化主矢与主矩
- 主矢 FR′ = ΣFi：与简化中心无关
- 主矩 MO = ΣMO(Fi) = Σ(xiFiy − yiFix)：与简化中心有关
- FR′ = √(ΣFix)² + (ΣFiy)²；方向余弦定方向；作用于简化中心
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简化结果四种情形
- FR′≠0, MO=0 → 合力，作用线过简化中心
- FR′≠0, MO≠0 → 合力，作用线距简化中心 d = |MO|/FR′
- FR′=0, MO≠0 → 合力偶，与简化中心位置无关
- FR′=0, MO=0 → 平衡，与简化中心位置无关
- 合力矩定理（任意力系）MO(FR) = ΣMO(Fi)
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固定端约束Fx, Fy, MA
- 限制平动（2 个力）+ 限制转动（1 个力偶矩）
- 工程实例：悬臂梁、雨搭
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力的平移定理力 ⇌ 力 + 力偶
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8第 2 章 · 平面任意力系的平衡
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充要条件主矢和对任意点的主矩都等于零
- FR′ = 0 且 MO = 0
- 有一个不为零 → 简化为合力或合力偶 → 不能平衡
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平衡方程三形式均为 3 个独立方程
- 一般式：ΣFx=0, ΣFy=0, ΣMO=0
- 二矩式：ΣFx=0, ΣMA=0, ΣMB=0（A、B 连线不得垂直于投影轴）
- 三矩式：ΣMA=0, ΣMB=0, ΣMC=0（A、B、C 不得共线）
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典型题型
- 支架 / 起重机：一个方程解一个未知量
- 简支梁：分布力先合成，再用总量关系校核
- T 型刚架：固定端 3 个未知量对 3 个方程
- 临界/翻倒题：一侧支座力 = 0，并对该支座取矩
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充要条件主矢和对任意点的主矩都等于零
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9第 2 章 · 物体系平衡 · 静定与超静定
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独立方程数汇交 2 / 力偶 1 / 任意 3
- 汇交力系：有 1 个方程自然满足
- 力偶系：有 2 个方程自然满足
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物系概念外力与内力
- 物系 = 若干物体通过约束组成的系统
- 外力 = 外界作用于系统；内力 = 系统内部各物体间的力
- 内力成对、组成平衡力系 → 画整体受力图时不画
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物系特点与解法
- 物系静止；每个单体也平衡；n 个物体共有 3n 个方程
- 由整体 → 局部，由局部 → 整体
- 组合梁：先算附加部分，后算基础部分，否则要解联立方程
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静定判别未知量数 vs 独立方程数
- 相等 → 静定问题（可求解）
- 未知量多 → 超静定问题；需加变形协调条件，属材力/结力范畴
- 增加多余约束可提高刚度与坚固性
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独立方程数汇交 2 / 力偶 1 / 任意 3
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10第 2 章 · 平面简单桁架内力计算
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构成与判定从三角形开始，逐次加一个节点 + 两根不共线杆
- m = 2n − 3 → 平面简单（静定）桁架
- m > 2n − 3 → 平面复杂（超静定）桁架
- m < 2n − 3 → 非桁架（机构）
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四点假设
- ① 各杆为直杆，轴线共面
- ② 杆件间均用光滑铰链连接
- ③ 载荷作用在节点上，且在桁架平面内
- ④ 各杆自重不计或均分布在节点上
- ⟹ 每根杆件均为二力杆
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节点法逐个取节点（每个节点是平面汇交力系）
- 先求支座反力；从只有两个未知杆力的节点开始
- 最后取一个节点校核
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截面法假想截开，取任一部分平衡
- 只求某几根杆内力时用；一次最多截 3 根
- 取矩点选在两被截杆的交点，让未知量只剩一个
- 内力负值代表受压（先按拉力假设）
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构成与判定从三角形开始，逐次加一个节点 + 两根不共线杆
基本概念
公理 / 平衡
约束 / 物体系
受力图 / 桁架
汇交力系
力偶与力矩
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流程解题流程决策图
从拿到题目到交出答案的六个决策点这张图不是知识，而是动作顺序。做题卡住时，沿着这六个决策点回查，通常能立刻定位问题出在哪一步。
解题流程
从题目到答案的决策路径
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①选定研究对象
- 单个物体？还是物体系统？
- 目标是让下一个方程里未知量最少
- 物体系：先整体看全局，再拆局部；组合梁先附属后基础
- 不同研究对象的受力图不同
- 内力 vs 外力随研究对象改变
- 单个物体？还是物体系统？
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②取分离体、画受力图
- 四步：选对象 → 取分离体 → 画主动力 → 画约束反力
- 查约束表确定约束力方向与个数
- 光滑面 1 个法向力 / 柔索 1 个拉力 / 铰链 2 个分力
- 活动铰支座 1 个法向力 / 固定端 2 力 + 1 力偶矩
- 先找二力杆与三力汇交
- 认出二力杆 → 方向确定、只剩一个未知量
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③判断力系类型
- 作用线共面且汇交于一点 → 平面汇交力系（2 个方程）
- 只有力偶 → 平面力偶系（1 个方程）
- 既不汇交又不平行 → 平面任意力系（3 个方程）
- 数未知量，与方程数比较 → 判断静定 / 超静定
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④选择解法与方程形式
- 三个力且角度特殊 → 几何法（力三角形）
- 力多、角度不特殊、方向不定 → 解析法
- 方程形式：一般式 / 二矩式 / 三矩式
- 二矩式：A、B 连线不得垂直于投影轴
- 三矩式：A、B、C 不得共线
- 让方程解耦的两个技巧
- 投影轴垂直于某个未知力 → 该力不出现
- 取矩点选在两个未知力的交点 → 这两个力不出现
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⑤列方程求解
- 先统一符号约定（逆时针为正）
- 分布力先合成为集中力（合力 = 面积，作用线过形心）
- 力偶只进取矩方程，不进投影方程
- 解出负值 → 说明实际方向与假定相反，不要改假定重算
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⑥校核
- 用未用过的方程代回检查
- 总量校核：竖直方向各力之和 = 总载荷
- 桁架：最后取一个节点校核（水平、竖直合力均为零）
- 整体与局部的受力必须一致、不矛盾
公式公式地图
按"用在哪一步"归类，而不是按章节A
把力变成数（投影与合成）
力在轴上的投影X = Fcosα , Y = Fsinα
由分量求力F = √(Fx² + Fy²)
合力投影定理FRx = ΣFix , FRy = ΣFiy
合力大小FR = √(FRx² + FRy²)
两力合成（几何法）R² = F₁² + F₂² + 2F₁F₂cosα
矢量求和FR = ΣFi（力多边形封闭 ⟺ 平衡）
B
转动效应（力矩与力偶）
力对点之矩MO(F) = ±F·h = ±2⊿AOB
矢量式MO(F) = r × F
力偶矩M = ±F·d
合力矩定理MO(F) = ΣMO(Fi)
力偶系合成MR = ΣMi
分布力合力 = 面积；作用线过形心
C
整体简化（主矢与主矩）
力的平移F → F′ + M，M = F·d
主矢（与中心无关）FR′ = ΣFi
主矩（与中心有关）MO = Σ(xiFiy − yiFix)
合力到中心的距离d = |MO| / FR′
平衡的充要条件FR′ = 0 且 MO = 0
D
求解未知力（平衡方程）
汇交力系ΣFx = 0 , ΣFy = 0
力偶系ΣM = 0
任意力系·一般式ΣFx = 0 , ΣFy = 0 , ΣMO = 0
任意力系·二矩式ΣFx = 0 , ΣMA = 0 , ΣMB = 0
任意力系·三矩式ΣMA = 0 , ΣMB = 0 , ΣMC = 0
桁架静定判定m = 2n − 3
符号约定（全篇统一，不要中途改）
力矩与力偶矩：逆时针为正，顺时针为负。
投影：与坐标轴正向夹角为锐角时为正，钝角时为负。
桁架杆件内力：先假设为拉力（背离节点），解出负值代表受压。
约束力：方向可任意假定，解出负值表示实际方向与假定相反。
投影：与坐标轴正向夹角为锐角时为正，钝角时为负。
桁架杆件内力：先假设为拉力（背离节点），解出负值代表受压。
约束力：方向可任意假定，解出负值表示实际方向与假定相反。