工程力学 · 静力学 第 2 章 平面力系
第 2 章 · 平面力系

把力算出来：从合成到平衡方程

本章把第 1 章画好的受力图变成可解的方程。主线只有一条： 力系的合成与简化 → 简化的结果 → 平衡条件。抓住主矢与主矩，所有的平衡方程都是它的推论。

从力系分类开始 → 直接看思维导图 跳到最后自测
6大知识板块
2汇交力系解法
4简化结果情形
3平衡方程形式

1力系分类与研究方法

先判断"这是什么力系"，再决定用几个方程

拿到题目第一件事不是列方程，而是给力系分类。分类决定了能用几个独立方程、公式长什么样， 这是本章最重要的"决策点"。

力系的分类

按空间位置

  • 平面力系：力系中的各力都处于同一平面内。
  • 空间力系：各力不在同一平面内。

平面力系再细分

  • 平面汇交力系——各力作用线都在同一平面内且汇交于一点。
  • 平面平行力系——各力作用线相互平行。
    （平面力偶系是其中的特殊情况）
  • 平面一般力系（平面任意力系）——各力作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行。
生活实例 起重机挂钩上的力 → 平面汇交力系（各钢丝绳拉力汇交于吊钩一点）。 也就是说，判断"是否汇交"往往只要看力的作用线是否能延长到一个交点。

两类研究方法，对应本章前两节

几何法（图解法）

画力三角形 / 力多边形，量长度或用三角公式。适合三个力、角度特殊的题。

解析法（坐标法）

投影 + 合力投影定理，列代数方程。适合力多、角度不特殊、方向难判断的题。

2平面汇交力系合成与平衡 · 几何法

平行四边形法则 · 力多边形 · 自行封闭
合成的几何法

从两个力到任意个力

① 两个共点力（汇交力）的合成

由力的平行四边形法则作出，也可用三角形法则来作——两者结果相同。

R² = F₁² + F₂² + 2F₁F₂cosα 合力大小 —— 由余弦定理（注意 α 是两力的夹角）
F₁ / sinφ = R / sin(180° − α) 合力方向 —— 由正弦定理（三角形中各边与其对角正弦之比相等）
符号别搞错 推导中用到 cos(180° − α) = −cosα。所以公式里是 +2F₁F₂cosα（当 α 为两力夹角时）。

② 任意个共点力的合成 —— 力多边形规则

把各力首尾相接依次画出，从第一个力的起点指向最后一个力的终点的矢量即为合力。

FR = F₁ + F₂ + ⋯ + Fn = ΣFi
两条重要结论 ① 平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和；
② 合力的作用线通过各力的汇交点（这正是"汇交"带来的便利——合力位置不需要额外求）。

③ 共线力系（特殊情况）

如力系中各力的作用线都沿同一直线，则此力系称为共线力系，它是平面汇交力系的特殊情况， 它的力多边形在同一直线上。若沿直线的某一指向为正、相反为负，则合力的大小与方向决定于各分力的代数和：

FR = F₁ + F₂ + ⋯ + Fn = ΣFi　各分力带符号求代数和
平衡

平衡的几何条件

平面汇交力系平衡的充要条件是：

ΣFi = 0  ⟺  力多边形自行封闭 力系中各力的矢量和等于零

求解平衡问题时可用图解法：按比例先画出封闭的力多边形，然后量得所要求的未知量； 也可根据图形的几何关系，用三角公式计算出所要求的未知量。这种解题方法称为几何法。

步骤

几何法解题的四个步骤

  • 选取研究对象。根据题意，选取适当的平衡物体作为研究对象，并画出简图。
  • 画受力图。在研究对象上，画出它所受的全部已知力和未知力（包括约束力）。
  • 作力多边形或力三角形。选择适当的比例尺，作出该力系的封闭力多边形或封闭力三角形。
    必须注意：作图时总是从已知力开始。根据矢序规则和封闭特点，就可以确定未知力的指向。
  • 求出未知量。按比例量取，或者用三角公式计算出来。
几何法的三个不足 ① 精度不够，误差大；② 作图要求精度高；③ 不能表达各个量之间的函数关系。
——正因为如此，才需要引入下面的解析法。
例 2-1

支架：几何法（本章会与解析法对照再用一次）

支架的横梁 AB 与斜杆 DC 彼此以铰链 C 相联接，并各以铰链 A、D 连接于铅直墙上。 已知 AC = CB；杆 DC 与水平线成 45° 角；载荷 F = 10 kN 作用于 B 处。 设梁和杆的重量忽略不计，求铰链 A 的约束力和杆 DC 所受的力。

解题思路
  1. 选取横梁 AB 为研究对象。横梁在 B 处受载荷 F 作用。
  2. DC 为二力杆（两端铰接 D、C，自重不计），所以它对横梁 C 处的约束力 FC 的作用线必沿两铰链 D、C 中心的连线（即 45° 方向）。
  3. 铰链 A 的约束力 FA 的作用线可根据三力平衡汇交定理确定：通过另两力的交点 E。
  4. 三个力应组成一封闭的力三角形。按比例尺先画已知力矢 ab，再由点 a 作直线平行于 AE，由点 b 作直线平行于 CE，两直线交于点 d，力三角形 abd 封闭，即可确定 FC 和 FA 的指向。
  5. 线段 bd 和 da 分别表示 FC 和 FA 的大小；量出长度按比例换算，一般还是用三角公式计算。
FC = 28.3 kN FA = 22.4 kN

根据作用力和反作用力的关系，作用于杆 DC 的 C 端的力与 FC 等值反向，由此可知 杆 DC 受压。

记住这个答案 §9 里会用平衡方程把同一道题再算一遍，得到完全一致的结论——这是检验"你理解了两套方法"的最好例子。
例 2-2

碾子拉过障碍物（几何法 + 临界状态）

已知压路机碾子重 P = 20 kN，半径 r = 60 cm，欲拉过 h = 8 cm 的障碍物。 求：在中心作用的水平力 F 的大小和碾子对障碍物的压力。

解题思路
  1. 几何关系：由 cosα = (r − h)/r = 52/60 = 0.8667（α ≈ 30°）知 tanα ≈ 0.577。
  2. 取碾子为研究对象，取分离体画受力图。
  3. 临界条件：当碾子刚离地面时 NA = 0，此时拉力 F 最大，力系由拉力 F、自重 P 及支反力 NB 构成。
  4. 由平衡的几何条件，力多边形封闭，故 F = P·tanα、NB = P / cosα。
F = 11.5 kN NB = 23.1 kN

由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于 23.1 kN。

这类题的通用套路 "刚离地/刚翻倒/刚要滑动" → 找临界状态 → 让某个力等于零（或达到极限值）→ 方程立刻可解。 本章例 3-6（吊车不翻倒）用的也是同一套路。

3平面汇交力系合成与平衡 · 解析法

坐标法 · 投影 · 合力投影定理

解析法又叫坐标法。它是本章后续所有公式的基础，务必彻底掌握。

一

力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解

X = Fx = F·cosα     Y = Fy = F·sinα = F·cosβ α 为力 F 与 x 轴正向的夹角；β 为与 y 轴正向的夹角
cosα = Fx / F     cosβ = Fy / F     F = √(Fx² + Fy²)
"投影"不是"分力" 投影是代数量（可正可负）；分力是矢量。投影的符号由力与轴正向的夹角决定： 夹角为锐角时投影为正，钝角时为负。写方程时必须带上符号。
二

平面汇交力系合成的解析法

因为 FR = ΣFi，把矢量等式投影到坐标轴上，就得到：

FRx = ΣFix     FRy = ΣFiy 合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和
FR = √(FRx² + FRy²) 合力的大小
cos(FR, i) = ΣFix / FR     cos(FR, j) = ΣFiy / FR 合力的方向（方向余弦）

作用点：力的汇交点。

合力投影定理是整个第 2 章的"发动机" 它把"矢量合成"变成了"代数求和"——这正是解析法的价值所在。后面主矢的计算也是同一个定理。
平衡

平衡的解析法（坐标法）

ΣFix = 0     ΣFiy = 0 平面汇交力系平衡 → 2 个独立方程，只能求 2 个独立未知数
为什么要记"几个独立方程" 因为这直接决定一道题是静定还是超静定（见 §11）。平面汇交力系只能列 2 个方程—— 如果未知力的个数是 3 个，那这道题光靠这个力系就解不出来。
技巧

四条解题技巧（课件原话，考试直接用）

  • 一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时，用几何法（解力三角形）比较简便。
  • 一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊，都用解析法。对力的方向判定不准的，一般用解析法。
  • 投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数。
  • 解析法解题时，力的方向可以任意设。如果求出负值，说明力方向与假设相反。 对于二力构件，一般先设为拉力（即背离构件），如果求出负值，说明物体受压力。
第 3 条是"省时间"的关键 投影轴垂直于未知力 → 该力在方程中不出现 → 一个方程直接解出一个未知量，避免解联立方程。 后面物体系、桁架题都会反复用这个思路。
例 2-3

用解析法求平面共点力系的合力

已知图示平面共点力系（四个力 F₁…F₄ 分别与 x 轴成 30°、60°、45°、45°，后两个指向相反），求此力系的合力。

解：用解析法
FRx = ΣFix = F₁cos30° + F₂cos60° − F₃cos45° − F₄cos45° = 129.3 N
FRy = ΣFiy = F₁sin30° + F₂sin60° − F₃sin45° − F₄sin45° = 112.3 N
FR = √(129.3² + 112.3²) = 171.3 N θ = 40.99°　β = 49.01°

方向由方向余弦确定：cosθ = FRx/FR = 0.7548， cosβ = FRy/FR = 0.6556。

例 2-4

滑轮 B 处的杆件受力（"为什么这样建坐标系"）

已知系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P = 20 kN。求：系统平衡时，杆 AB、BC 受力。

解
  1. AB、BC 杆为二力杆，取滑轮 B（或点 B）为研究对象，画受力图。
  2. 用解析法，建图示坐标系（投影轴取向有利于方程简化）。
  3. 绳的两端拉力相等：F₁ = F₂ = P = 20 kN。
ΣFix = 0：  −FBA + F₁cos60° − F₂cos30° = 0
ΣFiy = 0：  FBC − F₁cos30° − F₂cos60° = 0
FBA = −7.321 kN（受压） FBC = 27.32 kN
课件在这里专门提了一个问："为什么建立这种坐标系？" 因为取"平行/垂直于某个未知力"的坐标轴，可以让一个方程里只剩一个未知数。 这道题如果把轴随便取，两个方程就会互相耦合，需要解联立方程。
例 2-5

销钉 B 的受力（对称结构的便利）

已知 F = 3 kN，l = 1500 mm，h = 200 mm，忽略自重。求：平衡时，AB 杆、BC 杆受力。

解
  1. AB、BC 杆为二力杆。取销钉 B 为研究对象。
  2. 用解析法列方程：
ΣFix = 0：  FBAcosθ − FBCcosθ = 0  ⟹  FBA = FBC
ΣFiy = 0：  FBAsinθ + FBCsinθ − F = 0
FBA = FBC = 11.35 kN
结构对称 → 方程也对称 由 ΣFix = 0 直接得出两杆内力相等，这是对称结构题最典型的"白送分"。

4平面力偶与力偶矩

静力学的第二个基本力学量
定义

力偶和力偶矩

由两个等值、反向、不共线（平行）的力组成的力系称为力偶，记作 (F, F′)。

力偶的两个关键性质 力偶既没有合力（如果一定要找合力作用点，作用点在无穷远处），本身又不平衡。
力和力偶是静力学的两个基本力学量。

力偶臂与作用面

  • 力偶臂：力偶两个力之间的垂直距离 d。
  • 作用面：力偶所在的平面。

力偶矩

力偶是由两个力组成的特殊力系，它的作用只改变物体的转动状态。因此力偶对物体的转动效应可用力偶矩来度量。

M = ±F·d = ±2⊿ABC 力偶矩 = 力的大小 × 力偶臂，单位 N·m

力偶矩的两个要素

  • 大小：力与力偶臂的乘积；
  • 方向：转动方向。

符号约定

力偶矩的符号代表力偶的转向：逆时针为正，顺时针为负。

性质

力偶与力偶矩的三条性质

  • 力偶在任意坐标轴上的投影等于零。
    —— 因为两力等值反向，投影代数和恒为零。所以写投影方程时力偶不出现。
  • 只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意转移，对刚体的作用效果不变。
    即"力偶对刚体的作用与其在作用面内的位置没有关系"。而且只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小与力臂的长短，对刚体的作用效果不变。（因为力偶矩 M = ±2⊿ABC 只取决于三角形面积。）
  • 力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。
    —— 这条性质是解题的"指路牌"：如果物体上只有力偶，那么约束力必定组成一个力偶去平衡它。
合成与平衡

平面力偶系

平面力偶系：作用在物体同一平面的许多力偶。

设各力偶矩为 M₁, M₂, …, Mn，任选一段距离 d 作为公共力偶臂，把每个力偶化成等效力偶（力 Fi = Mi/d），再合成：

MR = FR·d = F₁d + F₂d + ⋯ + Fnd = M₁ + M₂ + ⋯ + Mn = ΣMi
两条结论 ① 平面力偶系合成结果还是一个力偶，其力偶矩为各力偶矩的代数和；
② 平面力偶系平衡的充要条件：ΣM = 0（1 个独立方程，只能求 1 个独立未知数）。
例 2-6

光滑螺柱 AB 所受的水平力

已知三个力偶 M₁、M₂、M₃ 与螺柱间距 l。求：光滑螺柱 AB 所受水平力。

解
  1. 由"力偶只能由力偶平衡"的性质确定受力图：A、B 处的约束力必须等值、反向、平行，组成一个力偶去平衡原来的力偶系，因此 A、B 处的力都沿着螺柱轴线方向（水平）。
  2. 列力偶系平衡方程：
ΣM = 0：  FA·l − M₁ − M₂ − M₃ = 0
⟹  FA = FB = (M₁ + M₂ + M₃) / l
这道题的真正考点 不是算术，而是"力偶只能由力偶平衡"——一旦用上这条性质，A、B 处力的方向就被确定了， 未知量从 4 个（两个铰链各 2 个分力）直接降到 1 个。这是力偶题最典型的简化。
例 2-7

轮与杆：求平衡时的 M₂ 及铰链 O、B 处的约束力

已知 M₁ = 2 kN·m，OA = r = 0.5 m，θ = 30°。 求：平衡时的 M₂ 及铰链 O、B 处的约束力。

解（两个研究对象，各列一个方程）
  1. 取轮为研究对象。由"力偶只能由力偶平衡"的性质画受力图：O 处的约束力与 A 处的力必须组成一个力偶。
ΣM = 0：  M₁ − FA·r·sinθ = 0
  1. 取杆 BC 画受力图，同样由力偶平衡列方程：
ΣM = 0：  M₂ − FA′·r / sinθ = 0
FO = 8 kN FA = FB = 8 kN M₂ = 8 kN·m
学到什么 "力偶只能由力偶平衡"用在每一个研究对象上，于是轮和杆的受力图都变得极简： 每个研究对象只需一个取矩方程。这种"一眼看穿受力"的能力正是第 1 章训练的成果。

5平面力对点之矩（力矩）

力使物体绕某点转动的效应
概念

力对点之矩

力对物体可以产生两种效应：

  • 移动效应——取决于力的大小、方向；
  • 转动效应——取决于力矩的大小、方向。
MO(F) = ±F·h O 为矩心，h 为力臂（矩心到力作用线的垂直距离）
MO(F) = r × F 矢量（解析）表达式

力矩的两个要素

  • 大小：力 F 与力臂 h 的乘积；
  • 方向：转动方向（逆时针为正，顺时针为负）。

关于"力矩作用面"

矩心 O 与力 F 共同确定一个平面，这个平面称为力矩作用面。

说明

力矩的六条性质（课件原文）

  • MO(F) 是代数量（不是矢量，只有正负两个方向）。
  • 当 F = 0 或 h = 0 时，MO(F) = 0。
    → 力通过矩心时力矩为零。这是"取矩点选在某个未知力的作用线上"能消掉该未知量的原因。
  • MO(F) 是影响转动的独立因素。
  • 单位：N·m 或 kN·m。
  • MO(F) = 2⊿AOB = h·d，2 倍 ⊿ 形面积。
  • 正负号：符号代表转向，逆时针为正，顺时针为负。
第 2 条是"选矩心"的核心技巧 取矩点选在某未知力的作用线上 → 该力的力矩为零 → 方程里不出现它。 和"投影轴垂直于未知力"是同一个思想的两种用法。

6合力矩定理与分布力

把"难算的力臂"变成"好算的形式"
定理

合力矩定理

MO(F) = Σ MO(Fi) 平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所有各分力对同一点的矩的代数和

等价的说法：力对某点之矩，等于该力的分量对相同点之矩的和。 （由平行四边形法则 + 力矩定义即可证明。）

什么时候用？ 当直接量"力臂 h"很麻烦时——把力正交分解，分别求两个分力的力矩再相加。 典型场景：力斜着作用在圆上（见下面齿轮例）、力作用在悬臂梁的端部等。
例 2-8

圆柱直齿轮：求齿合力对轴心的矩

圆柱直齿轮受到齿合力 F 的作用，已知 F = 1400 N，压力角 θ = 20°，r = 60 mm。计算力对轴心 O 的矩。

解法一：按力矩的定义
MO(F) = F·h = F·r·cosθ = 78.93 N·m
解法二：按合力矩定理（分解为切向力与径向力）
MO(F) = MO(Ft) + MO(Fr) = Fcosθ·r + 0 = 78.93 N·m
关键观察 径向力通过矩心，力矩为零。所以只需算切向分力的力矩——这正是合力矩定理的价值： 它把一个"斜力"拆成"好算的切向分量 + 力矩为零的径向分量"。 （注意这里 Fcosθ 是切向分量，因为 θ 是压力角。）
例 2-9

三角形分布力的合力与作用线位置

已知三角形分布载荷的最大集度 q 与分布长度 l。求：合力及合力作用线位置。

解：取微元 + 合力矩定理
  1. 取微元如图。分布集度在 x 处为 qx = q·x / l（线性分布）。
  2. 求合力：把微元的合力叠加（积分）
P = ∫0l (q·x/l) dx = q·l/2 合力大小 = 荷载图的面积（三角形面积 = 底 × 高 / 2）
  1. 求合力作用线位置：合力及分布力对 A 点的力矩效应应该是一样的，故由合力矩定理
P·h = ∫0l x·(q·x/l) dx = q·l²/3  ⟹  h = 2l/3
合力 P = ql/2 作用线位置 h = 2l/3（自 q = 0 一端量起）
这两条要当成结论记住 ① 分布力的合力大小 = 荷载图的面积；② 合力作用线通过荷载图的形心。 三角形分布力：合力 = ql/2，作用线在距"零集度端"2l/3 处（即距最大集度端 l/3 处）。 矩形分布力（均布荷载）：合力 = ql，作用线在中点。

7力的平移定理与平面任意力系的简化

主矢与主矩 —— 本章的理论核心
定理

力的平移定理

可以把作用在刚体上点 A 的力 F 平行移到任一点 B，
但必须同时附加一个力偶， 且这个力偶的矩等于原来的力对新作用点 B 的矩。
M = MB(F) = F·d d 为 A、B 两点在与力垂直方向上的距离

三条说明

  • 力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力 ⇌ 力 + 力偶。
  • 力平移的条件是附加一个力偶 M，且 M 与 d 有关，M = F·d。
  • 力线平移定理是力系简化的理论基础。
回到第 1 章的一个"坑" 第 1 章说"力可以沿作用线滑动"（可传性），本章说"力可以平行移动，但要加力偶"。 两句话不矛盾：沿作用线移动不产生附加力偶；平行移动一定产生附加力偶。
简化

向作用面内一点简化：主矢与主矩

把平面任意力系中的每个力都平移到简化中心 O：

F₁′ = F₁, M₁ = MO(F₁)
F₂′ = F₂, M₂ = MO(F₂)
⋯
Fn′ = Fn, Mn = MO(Fn)

于是原来的力系等效成一个汇交力系（在 O 点）和一个力偶系，分别合成得到：

FR′ = ΣFi 主矢（原力系各力的矢量和）
MO = ΣMO(Fi) 主矩（原力系各力对简化中心之矩的代数和）
核心结论 原来的力系等效成一个力（主矢）与一个力偶矩（主矩）。
重点

主矢与主矩随简化中心变化的规律

主矢与简化中心无关

因为主矢就是各力的矢量和，ΣFi 和简化中心在哪没关系。

主矩与简化中心有关

换一个简化中心，各力的力臂都变了，主矩也变。所以必须说明"对哪一点的主矩"。

这句话考试常考 "主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关，必须说明对哪一点得主矩。"
计算

如何求出主矢、主矩

FRx′ = ΣFix = ΣFx     FRy′ = ΣFiy = ΣFy 用合力投影定理求主矢的分量
FR′ = √(ΣFix)² + (ΣFiy)² 主矢大小
cos(FR′, i) = ΣFix / FR′     cos(FR′, j) = ΣFiy / FR′ 主矢方向
MO = ΣMO(Fi) = Σ(xiFiy − yiFix) 主矩（用各力作用点的坐标计算，xi、yi 是力的作用点坐标）

作用点：主矢作用于简化中心上；主矩也作用于简化中心处（作为一个力偶）。

补充

固定端（插入端）约束

固定端约束同时限制物体平动和限制转动，因此它的约束反力是：

Fx , Fy , MA 2 个力（限制平动）+ 1 个力偶矩（限制转动）

典型实物：雨搭、悬臂梁嵌固在墙内等。

为什么固定端会有力偶矩？ 因为它不允许转动。墙体对梁端的作用力不是集中在一个点上的，而是一个分布力系； 把这个分布力系向梁端截面中心简化，就得到一个主矢（Fx, Fy）和一个主矩 MA。 ——这正是本章简化理论的一次实际应用。
固定端有 3 个未知量 Fx, Fy, MA 是三个，正好等于平面任意力系的 3 个独立方程数。 所以"悬臂梁受固定端约束"是静定问题。

8平面任意力系简化结果分析

四种组合，四种结果

主矢和主矩各有"零/非零"两种可能，组合起来共四种情形。这张表必须背下来——它是平衡方程的直接来源。

← 表格可左右滑动查看 →

主矢 FR′主矩 MO最后结果说明
≠ 0= 0 合力 合力作用线过简化中心。此时主矢就是合力矢量。
≠ 0≠ 0 合力 合力大小等于主矢量大小，方向相同；合力作用线距简化中心 d = |MO| / FR′。 作用点根据主矢和主矩方向确定，可进一步简化为一个合力。
= 0≠ 0 合力偶 与简化中心的位置无关。
= 0= 0 平衡 与简化中心的位置无关。
定理

合力矩定理（任意力系版本）

MO(FR) = MO = ΣMO(Fi)

平面任意力系的合力对作用面内任意一点的矩，等于力系中各个分力对同一点矩的代数和。

其中 MO = FR′·d，由此可求合力作用线的位置。

这是"求合力作用线"的标准方法 先求主矢 → 再求对某点 O 的主矩 → 用 d = MO/FR′ 得合力作用线到 O 的距离。 下面例 3-1 就是这个流程的完整演示。
例 3-1

重力坝：简化 → 合力 → 作用线方程（完整的简化流程题）

重力坝受力如图所示，已知 P₁ = 450 kN，P₂ = 200 kN， F₁ = 300 kN，F₂ = 70 kN。 求：力系向 O 点简化的结果，合力与基线 OA 的交点到 O 的距离，以及合力作用线方程。

（1）向 O 点简化，求主矢和主矩
FRx′ = ΣFix = F₁ − F₂cosθ = 232.9 kN
FRy′ = ΣFiy = −F₁′ − P₁ − P₂ − F₂ sinθ = −670.1 kN
FR′ = √(ΣFix)² + (ΣFiy)² = 709.4 kN 主矢大小
cos(FR′, i) = 0.3283    cos(FR′, j) = −0.9446 方向余弦；主矢在第四象限，与 x 轴夹角 70.84°
MO = ΣMO(Fi) = −F₁·3 − P₁·1.5 − P₂·3.9 = −2355 kN·m 主矩
（2）求合力与基线 OA 的交点到 O 的距离

合力大小等于主矢量大小，方向相同。根据合力矩定理：

MO = FRy·x  ⟹  x = MO / FRy = (−2355) / (−670.1) = 3.514 m
（3）合力作用线方程
FRy·y − FRx·x + MO = 0
即  670.1y − 232.9x − 2355 = 0

在合力作用线方程中令 y = 0，同样得到 x = 3.514 m —— 两种方法互相校核，说明计算正确。

FR′ = 709.4 kN MO = −2355 kN·m x = 3.514 m
这道题的价值 它把 §7、§8 的全部内容串了一遍：投影求主矢 → 取矩求主矩 → 判断结果类型 → 求作用线位置 → 写作用线方程。 建议自己独立重算一遍。

9平面任意力系的平衡条件与平衡方程

三种形式，各有前提条件
充要条件

平衡的充要条件

平面任意力系平衡的充要条件是：力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。

FR′ = 0   且   MO = 0

因为 FR′ = √(ΣFx)² + (ΣFy)²，MO = ΣMO(Fi)，所以：

ΣFx = 0     ΣFy = 0     ΣMO = 0 平面任意力系平衡方程的基本形式（一般式）—— 3 个独立方程
为什么必须同时为零 若主矢和主矩有一个不等于零，则力系应简化为合力或合力偶；若主矢与主矩都不等于零时，可进一步简化为一个合力。 上述情况下力系都不能平衡，只有当主矢和主矩都等于零时力系才能平衡。
三形式

平衡方程的三种形式

← 表格可左右滑动查看 →

名称方程限制条件（用错就解不出）独立方程数
一般式 ΣFx = 0
ΣFy = 0
ΣMO = 0		 无特殊限制，最保险 3
二矩式 ΣFx = 0
ΣMA = 0
ΣMB = 0		 A、B 两个取矩点连线，不得与投影轴垂直 3
三矩式 ΣMA = 0
ΣMB = 0
ΣMC = 0		 A、B、C 三个取矩点，不得共线 3
使用建议 ① 不确定时用一般式；
② 想"一个方程解一个未知量"时用二矩式/三矩式：把取矩点选在两个未知力的作用线交点上，这两个力就同时从方程里消失了。
③ 用二矩式、三矩式时务必核对限制条件，否则方程线性相关，解出"0 = 0"。

10平衡方程典型例题

六道题吃透"取研究对象 + 选方程形式"
例 3-2

支架（与例 2-1 对照：变化学方法）

与例 2-1 同一道题：AC = CB = l；杆 DC 与水平线成 45°；F = 10 kN 作用于 B 处。 用平衡方程重解，求铰链 A 的约束力和杆 DC 所受的力。

解：取 AB 梁，画受力图
ΣFix = 0：  FAx + FCcos45° = 0
ΣFiy = 0：  FAy + FCsin45° − F = 0
ΣMA = 0：  FCcos45°·l − F·2l = 0
FC = 28.28 kN FAx = −20 kN FAy = −10 kN
两个方法交叉验证 几何法得 FC = 28.3 kN、FA = 22.4 kN； 解析/平衡方程法得 FC = 28.28 kN，而 FA = √(20² + 10²) = 22.4 kN —— 完全一致。 负号说明 A 处约束力的实际方向与图中假定相反。
例 3-3

起重机：求 A、B 处的约束反力

起重机尺寸和受力工况如图，已知 P₁ = 10 kN，P₂ = 40 kN。求 A、B 处的约束反力。

解：取起重机，画受力图
ΣFix = 0：  FAx + FB = 0
ΣFiy = 0：  FAy − P₁ − P₂ = 0
ΣMA = 0：  （对 A 取矩，解出 FB）
FAx = 31 kN FAy = 50 kN FB = −31 kN
看两点 ① ΣFiy = 0 直接给出 FAy = P₁ + P₂ = 50 kN，一个方程解一个未知量；
② FB 为负值，说明它的实际方向与假定相反，而 FAx 与它等值反向（由 ΣFix = 0 保证）。
例 3-4

简支梁：支座 A、B 处的约束力

简支梁几何尺寸和受力工况如图，已知 P、q、a，且 M = Pa。求：支座 A、B 处的约束力。

解：取 AB 梁为研究对象，画受力图
ΣFx = 0：  FAx = 0
ΣMB = 0：  FAy·4a − P·2a − q·2a·a − M = 0
ΣFy = 0：  FAy − q·2a − P + FB = 0
FAx = 0 FAy = 3P/4 + qa/2 FB = P/4 + 3qa/2
校核习惯 FAy + FB = P + 2qa，正好等于总载荷（集中力 P + 分布力 q·2a）—— 这一步相加校核只要 5 秒，却能立刻发现算错。
例 3-5

T 型刚架：固定端 A 处约束力

T 型刚架如图，已知 P = 100 kN，M = 20 kN·m， q = 20 kN/m，l = 1 m，F = 400 kN。 求：固定端 A 处约束力。

解：以 T 型刚架为研究对象

先把分布力合成为集中力 F₁（作用在分布段中点）：

F₁ = ½·q·(3l) = 30 kN
ΣFx = 0：  FAx + F₁ − F sin60° = 0
ΣFy = 0：  FAy − P − F cos60° = 0
ΣMA = 0：  MA − M − F₁·l + F cos60°·(力臂) = 0
FAx = 316.4 kN FAy = 300 kN MA = −1188 kN·m
固定端一定是"3 个未知量" FAx, FAy, MA 三个未知量对三个方程，正好可解。 MA 为负值表示实际转向与假定相反。
例 3-6

起重吊车：不翻倒的平衡载重（临界问题）

起重吊车尺寸如图，A、B 间距 4 米。已知 P₁ = 700 kN，P₂ = 200 kN。 求：（1）起重机满载和空载时不翻倒的平衡载重 P₃ 的范围；（2）当 P₃ = 180 kN 时，轨道 AB 给起重机轮子的约束力。

解：取起重机为研究对象，画受力图
  1. 满载时不安全状况（绕 B 翻倒）：令 FA = 0，由 ΣMB = 0 求 P₃min。
  2. 空载时不安全状况（绕 A 翻倒）：令 FB = 0，由 ΣMA = 0 求 P₃max。
P₃min = 75 kN P₃max = 350 kN ⟹  75 kN ≤ P₃ ≤ 350 kN

要保证吊车正常运行，不管空载还是满载、不必更换平衡荷载，则应取 P₃ = 180 kN 再代回平衡方程，用 ΣFiy = 0 和 ΣMA = 0 求出两轮约束力。

"翻倒"类题的统一做法 翻倒的临界状态 = 一侧支座的约束力恰好为零。写出"哪个力为零"， 再对该支座取矩（此时这个支座的反力不出现），一步就能解出极限值。和例 2-2 的"刚离地"完全是同一个套路。
例 3-8

组合梁：先局部后整体

组合梁由 AC、BC 铰接而成，忽略摩擦和自重，已知 F = 20 kN， q = 10 kN/m，M = 20 kN·m，l = 1 m。 求：插入端 A 和连杆支座 B 的约束力。

解：两个研究对象，按"先附属后基础"的顺序
  1. 取 CD 梁为研究对象，画受力图，列 ΣMC = 0 解出 FB。
  2. 取整体为研究对象，画受力图，列三个平衡方程求 FAx, FAy, MA。
ΣFix = 0：  FAx − FBcos60° − F sin30° = 0
ΣFiy = 0：  FAy − 2ql + FBsin60° − F cos30° = 0
ΣMA = 0：  MA − M − 2ql·2l + FBsin60°·3l − F cos30°·4l = 0
FB = 45.77 kN FAx = 32.89 kN FAy = −2.32 kN MA = 10.37 kN·m
课件原话：顺序不能错 "对组合梁来说，一般先计算附加部分，后计算基础部分（或者整体部分），否则，要求解联立方程。" ——先算附属部分，是为了让基础部分的方程里未知量尽量少。

11物体系的平衡 · 静定与超静定

未知量数 与 独立方程数 的比较
概念

各种力系的独立方程数（必背）

← 表格可左右滑动查看 →

力系类型平衡方程独立方程数能求几个独立未知数
平面汇交力系 ΣFx = 0, ΣFy = 0 2 2 个
（有一个方程自然满足了）
平面力偶系 ΣM = 0 1 1 个
（有两个方程自然满足了）
平面任意力系 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣMA = 0 3 3 个
物系

物体系（物体系统）

  • 物体系（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统。
  • 外力：外界物体作用于系统上的力。
  • 内力：系统内部各物体之间的相互作用力。

物系平衡的特点与解法

两个特点

  • 物系静止；
  • 物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列 3 个平衡方程，设物系中有 n 个物体，则整个系统可列 3n 个方程。

一般方法

由整体 → 局部　　·　　由局部 → 整体

也可以"整体 + 局部组合"。目标是让每个方程里尽量只有一个未知数。

补充一句课件原话 工程中如组合构架、三铰拱等结构，都是由几个物体组成的系统。当物体系平衡时， 组成该系统的每一个物体都处于平衡状态。 如系统中有的物体受平面汇交力系或平面平行力系作用时，则系统的平衡方程数目相应减少。
核心

静定与超静定（静不定）

未知量数目 = 独立方程数目  ⟹  静定问题（可求解）
未知量数目 > 独立方程数目  ⟹  超静定问题（静不定，光靠静力学解不出）
  • 当系统中的未知量力数目等于独立平衡方程的数目时，则所有未知数都能由平衡方程求出，这样的问题称为静定问题。
  • 在工程实际中，有时为了提高结构的刚度和坚固性，常常增加多余的约束，因而使这些结构的未知量的数目多于平衡方程的数目，未知量就不能全部由平衡方程求出，这样的问题称为超静定问题。
  • 对于超静定问题，必须考虑物体因受力作用而产生的变形，加列某些补充方程后，才能使方程的数目等于未知量的数目。
  • 超静定问题已超出刚体静力学的范围，须在材料力学和结构力学中研究。（在强度力学——材力、结力、弹力——中用变形协调条件来求解。）
典型对比 简支梁（一端固定铰支座 2 个未知量 + 一端活动铰支座 1 个未知量 = 3 个未知量）：静定。
两端都是固定铰支座的梁（2 + 2 = 4 个未知量 > 3 个方程）：超静定。
例 3-7

曲轴冲床：四问连解（物系分析的完整演示）

曲轴冲床如图，忽略摩擦和自重，当 OA 处于水平、冲压力为 F 时，系统处于平衡状态。 已知 OA = R，AB = l。求：(1) 作用在轮 Ⅰ 上的力偶矩；(2) 轴承 O 处的约束力；(3) 连杆 AB 的受力；(4) 冲头给导轨的压力。

解：（1）取冲头 B 为研究对象（平面汇交力系）

冲头所受压力、导轨约束力、连杆作用力构成平面汇交力系：

ΣFiy = 0：  FBcosφ − F = 0  ⟹  FB = F / cosφ = F·l / √(l² − R²)
ΣFix = 0：  FNB − FBsinφ = 0  ⟹  FNB = F·tanφ
（2）取轮 Ⅰ 为研究对象（平面任意力系）
ΣMO = 0：  M − FAcosφ·R = 0  ⟹  M = F·R
ΣFix = 0：  FOx + FAsinφ = 0  ⟹  FOx = −F·tanφ
ΣFiy = 0：  FOy + FAcosφ = 0  ⟹  FOy = −F
连杆 AB 受力 FAB = Fl/√(l²−R²) 导轨压力 FNB = F·tanφ 力偶矩 M = F·R
注意两件事 ① 轴承 O 处的约束力的方向与图中假定的相反（因为 FOx, FOy 都是负值）——这和 §3 技巧 4 说的完全一致："力的方向可以任意设，求出负值说明方向与假设相反"。
② 注意 cosφ = √(l²−R²)/l，所以 FAB = F/cosφ。把几何关系换成 R、l 的表达是这类题的常见要求。
例 3-9

齿轮传动机构：两轮分离分析

齿轮传动机构如图，已知压力角 θ = 20°，2R = r₁，2P₁ = P₂。 求：物 C 匀速上升时，作用于轮 Ⅰ 上的力偶矩 M；轴承 A、B 处的约束力。

解：分别取两个轮系为研究对象
  1. 取左侧塔轮及重物 C 为研究对象，画受力图，列三个平衡方程解出 FBx, FBy 与圆周力 Ft。
  2. 再取轮 Ⅰ 为研究对象，画受力图，利用作用反作用关系把上一步得到的齿间力反向代入，解出 M 与 FAx, FAy。

齿轮啮合力的分解：

Ft = F·cosθ（圆周力/切向力）    Fr = Ft·tanθ（径向力）
Ft = 10P Fr = Ft·tan20° = 3.64P M = Ft·r₁ = 10P·r₁
齿轮题的固定套路 ① 啮合力分解为切向力（产生力矩）和径向力（指向轮心，对轮心无力矩）；
② 圆周力与力矩的关系 M = Ft·r；
③ 两个轮之间的力用作用反作用传递，分别取研究对象。

12平面简单桁架的内力计算

节点法 · 截面法
概念

什么是桁架

桁架：由杆组成、用铰联接的系统。由节点和杆件构成，是工程中（桥梁、屋架、塔架、起重机臂）最常用的结构形式。

简单桁架的构成方式与静定判定

从一个三角形开始，不断增加一个节点和两根不共线的杆件
m = 2n − 3 m 为总杆数，n 为总节点数

← 表格可左右滑动查看 →

条件桁架类型
m > 2n − 3平面复杂（超静定）桁架
m = 2n − 3平面简单（静定）桁架
m < 2n − 3非桁架（机构）
这个判据要会算 数清楚杆数和节点数，代入 m = 2n − 3。 这是判断"能不能用静力学方法求出全部杆件内力"的第一道关。
假设

关于平面桁架的四点假设

  • 各杆件为直杆，各杆轴线位于同一平面内；
  • 杆件与杆件间均用光滑铰链连接；
  • 载荷作用在节点上，且位于桁架几何平面内；
  • 各杆件自重不计或均分布在节点上。
四点假设推出一个关键结论 在上述假设下，桁架中每根杆件均为二力杆！
—— 于是每根杆的内力只剩一个未知量（大小），方向沿杆轴线。这是节点法和截面法都成立的前提。
方法

节点法与截面法

节点法

桁架的每个节点都受一个平面汇交力系的作用。为了求每个杆件的内力，可以逐个地取节点为研究对象， 由已知力求出全部未知的杆件内力。

适用：需要求出全部杆件内力时。每个节点 2 个方程。

截面法

如只要求计算桁架内某几个杆件所受的内力，可以适当地选取一截面，假想地把桁架截开， 再考虑其中任一部分的平衡，求出这些被截杆件的内力。

适用：只求少数几根杆时。一次最多截 3 根（因为平面任意力系只有 3 个方程）。

内力符号约定 杆件内力的负值代表受压（正值代表受拉）。 通常先假设为拉力（背离节点），解出负值即说明是压力。
例 3-12

节点法：求桁架各杆内力

平面桁架尺寸和支座如图，D 节点上有集中荷载 F = 10 kN，求桁架各杆的内力。

第一步：取整体为研究对象，求支座约束力
ΣFix = 0：  FBx = 0
ΣMB = 0：  2P − 4FAy = 0  ⟹  FAy = 5 kN
ΣFiy = 0：  FAy + FBy − P = 0  ⟹  FBy = 5 kN
第二步：逐个取节点为研究对象

取节点 A：

ΣFiy = 0：  FAy + F₁sin30° = 0  ⟹  F₁ = −10 kN（受压）
ΣFix = 0：  F₂ + F₁cos30° = 0  ⟹  F₂ = 8.66 kN

取节点 C：

ΣFix = 0：  F₄cos30° − F₁cos30° = 0  ⟹  F₄ = −10 kN
ΣFiy = 0：  （解出 F₃ = 10 kN）

取节点 D：

ΣFix = 0：  F₅ − F₂ = 0  ⟹  F₅ = 8.66 kN

最后取节点 B 进行校核：水平方向、竖直方向合力均为零 —— 检查通过。

F₁ = −10 kN F₂ = 8.66 kN F₃ = 10 kN F₄ = −10 kN F₅ = 8.66 kN
节点法的顺序与技巧 ① 先求支座反力（整体平衡），再从只有两个未知杆力的节点开始（通常是支座节点）； ② 每次只解一个节点，解出的内力代入相邻节点； ③ 最后用一个节点做校核——这是课件示范的规范做法。
例 3-13

截面法：只求 1、2、3 杆的内力

平面桁架各杆长度都为 1，荷载如图，已知 FE = 10 kN， FG = 5 kN。求：1、2、3 杆的内力。

第一步：取整体为研究对象，求支座约束力
ΣFix = 0：  FAx = 0
ΣMB = 0：  （对 B 取矩） ⟹  FAy = 9 kN
ΣFiy = 0：  FAy + FBy = P₁ + P₂  ⟹  FBy = 8 kN
第二步：用截面法，取桁架左边部分为研究对象

假想用一截面把 1、2、3 杆截开，取左半部分（含支座 A）分析。它受平面任意力系作用，列三个方程：

ΣME = 0：  −F₁·cos30° − FAy = 0  ⟹  F₁ = −10.4 kN（受压）
ΣFiy = 0：  FAy + F₂sin60° − P₁ = 0  ⟹  F₂ = 1.15 kN
ΣFix = 0：  F₁ + F₃ + F₂cos60° = 0  ⟹  F₃ = 9.81 kN
负值代表受压 F₁ 解出为负，说明 1 杆受压；F₂、F₃ 为正值，受拉。
截面法的两个技巧 ① 取矩点选在被截杆件中两杆的交点（这里是 E 点），使这两杆的力矩为零，只剩一个未知量；
② 截面一次最多截 3 根杆，否则未知量多于方程数。

13解题策略与易错点

把整章压缩成一张决策流程
流程

拿到一道题的决策顺序

  1. 先判断力系类型——汇交？平行？任意？这决定能列几个方程。
  2. 数未知量——和独立方程数比较，判断是否静定。若未知量偏多，想办法用二力杆/三力汇交/力偶性质把未知量降下来。
  3. 选研究对象——目标是"让下一个方程里未知量最少"。物体系题通常先整体、再局部，或先附属、后基础。
  4. 选方程形式与取矩点——投影轴垂直于某个未知力，或取矩点选在两个未知力的交点上，就能一个方程解一个未知量。
  5. 列方程前先统一符号约定（逆时针为正），逐个标明力的投影正负、力矩正负。
  6. 解完必须校核——用另一个未用过的方程代回，或用"ΣFy 等于总载荷"这类总量关系快速校验。
易错

力偶相关

  • 力偶在投影方程里不出现（它在任意轴上投影为零），只能出现在取矩方程里。
  • 力偶没有合力，只能由力偶平衡——忘了这条就会多设未知量。
  • 力偶可以在作用面内任意转移，所以画受力图时不必纠结它画在哪。
易错

取矩与投影

  • 力的投影是代数量，符号别丢。
  • 力通过矩心 → 力矩为零。取矩点要故意选在未知力的作用线上。
  • 二矩式要求 A、B 连线不与投影轴垂直；三矩式要求 A、B、C 不共线。
易错

分布力

  • 先合成再算：合力大小 = 荷载图面积，作用线过形心。
  • 均布荷载 ql 作用在中点；三角形荷载 ql/2 作用线在距零集度端 2l/3 处。
  • 不要忘记分布力也要取矩。
易错

物体系与桁架

  • 内力与外力的划分随研究对象变化，画局部受力图时原来"不必画"的力可能必须画。
  • 桁架题先求支座反力，否则节点法第一步就卡住。
  • 节点法从只有两个未知杆力的节点开始。
  • 截面法一次最多截 3 根杆；内力负值代表受压。
一句话总结本章 第 2 章的所有方法都在回答同一个问题：怎样用最少的方程、最快地解出未知力。 简化理论告诉你"方程为什么成立"，平衡方程三形式与二力杆/力偶性质告诉你"方程怎么选"。

图本章思维导图

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第 2 章 · 平面力系
第 2 章 平面力系
  • 1平面汇交力系
    • 几何法合成与平衡
      • 两共点力：平行四边形 / 三角形法则
      • 余弦定理 R² = F₁² + F₂² + 2F₁F₂cosα；正弦定理求方向
      • 任意个力：力多边形规则，FR = ΣFi（作用线过汇交点）
      • 平衡条件：ΣFi = 0 ⟺ 力多边形自行封闭
      • 四步：选对象 → 画受力图 → 作力多边形（从已知力开始）→ 求未知量
      • 不足：精度差、作图要求高、不能表达函数关系
    • 解析法坐标法
      • 投影：X = Fcosα，Y = Fsinα；F = √(Fx² + Fy²)
      • 合力投影定理：FRx = ΣFix，FRy = ΣFiy
      • FR = √(FRx² + FRy²)；方向余弦求方向；作用点为汇交点
      • 平衡：ΣFix = 0，ΣFiy = 0 → 2 个独立方程
      • 技巧：三力且角度特殊→几何法；力多或方向不定→解析法；投影轴垂直于未知力；负值=方向设反
  • 2平面力偶与力对点之矩
    • 力偶等值、反向、不共线的两个力
      • 无合力（作用点在无穷远）、本身不平衡
      • 力偶臂 d、作用面；M = ±F·d = ±2⊿ABC，单位 N·m
      • 转向：逆时针为正，顺时针为负
    • 三条性质
      • 力偶在任意坐标轴上投影等于零
      • 保持力偶矩不变，可在作用面内任意转移；也可同时改变力与力臂
      • 力偶只能由力偶来平衡
    • 力偶系合成与平衡
      • 合成仍是力偶：MR = ΣMi（代数和）
      • 平衡充要条件：ΣM = 0 → 1 个独立方程
    • 力对点之矩MO(F) = ±F·h = r × F
      • 两要素：大小（F·h）、方向（转向）
      • 代数量；F = 0 或 h = 0 时为 0；单位 N·m
      • MO(F) = 2⊿AOB
    • 合力矩定理MO(F) = ΣMO(Fi)
      • 用途：化斜力为分量（径向力过矩心 → 力矩为零）
      • 分布力：合力 = 荷载图面积，作用线过形心
        （均布 ql 在中点；三角 ql/2 在距零端 2l/3）
  • 3平面任意力系的简化
    • 力的平移定理力 ⇌ 力 + 力偶
      • 平移到 B 点须附加力偶 M = MB(F) = F·d
      • 揭示力与力偶的关系；力系简化的理论基础
    • 向一点简化主矢与主矩
      • 主矢 FR′ = ΣFi：与简化中心无关
      • 主矩 MO = ΣMO(Fi) = Σ(xiFiy − yiFix)：与简化中心有关
      • FR′ = √(ΣFix)² + (ΣFiy)²，方向余弦求方向，作用于简化中心
    • 简化结果四种情形
      • FR′≠0, MO=0 → 合力，作用线过简化中心
      • FR′≠0, MO≠0 → 合力，作用线距简化中心 d = |MO|/FR′
      • FR′=0, MO≠0 → 合力偶，与简化中心无关
      • FR′=0, MO=0 → 平衡，与简化中心无关
    • 固定端约束Fx, Fy, MA
      • 限制平动（2 个力）+ 限制转动（1 个力偶矩）
  • 4平面任意力系的平衡
    • 充要条件FR′ = 0 且 MO = 0
    • 三种形式
      • 一般式：ΣFx=0, ΣFy=0, ΣMO=0
      • 二矩式：ΣFx=0, ΣMA=0, ΣMB=0（A、B 连线不得垂直于投影轴）
      • 三矩式：ΣMA=0, ΣMB=0, ΣMC=0（A、B、C 不得共线）
      • 均为 3 个独立方程，只能求 3 个独立未知数
    • 典型题型
      • 支架 / 起重机：ΣFy 直接解出一个未知量
      • 简支梁：分布力先合成，再加总量校核
      • T 型刚架：固定端 3 个未知量对 3 个方程
      • 临界/翻倒题：一侧支座力 = 0，对该支座取矩
  • 5物体系平衡 · 静定与超静定
    • 独立方程数汇交 2 / 力偶 1 / 任意 3
    • 物系概念外力 / 内力
      • 外力 = 外界作用于系统的力；内力 = 系统内部各物体间的力
      • 内力成对、组成平衡力系 → 画整体受力图时不画
    • 物系特点与解法
      • 物系静止；每个单体也平衡；n 个物体共 3n 个方程
      • 由整体 → 局部，由局部 → 整体；组合梁先附属部分、后基础部分
    • 静定判别未知量数 vs 独立方程数
      • 相等 → 静定（可解）
      • 未知量多 → 超静定；需变形协调条件，属材力/结力范畴
  • 6平面简单桁架内力计算
    • 构成与判定从三角形开始逐次加节点+两杆
      • m = 2n − 3 → 简单（静定）桁架
      • m > 2n − 3 → 复杂（超静定）；m < 2n − 3 → 机构
    • 四点假设直杆共面 / 光滑铰接 / 载荷在节点 / 自重不计
      • ⟹ 每根杆都是二力杆
    • 节点法逐个取节点（平面汇交力系）
      • 先求支座反力；从只有两个未知杆力的节点开始；最后用一节点校核
    • 截面法假想截开，取一部分平衡
      • 只求少数几根杆时用；一次最多截 3 根
      • 取矩点选在两被截杆的交点，简化方程
      • 内力负值代表受压（先按拉力假设）
汇交力系 力偶与力矩 简化 平衡 物体系 桁架

测自测题

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主矢与主矩有什么区别？为什么说"主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关"？

主矢 FR′ = ΣFi 是原力系各力的矢量和；主矩 MO = ΣMO(Fi) 是原力系各力对简化中心之矩的代数和。

主矢只跟各力本身有关，换简化中心不改变各力的矢量，所以与简化中心无关。

主矩是各力的力矩之和，力臂随简化中心变化，因此主矩改变——所以只能说"对某一点的主矩"，必须说明对哪一点。

记忆方式：力系向不同点简化会得到不同的力偶（因为力被平移的距离不同，附加力偶不同），但得到的是同一个力。

力的平移定理为什么必须"附加一个力偶"？为什么第 1 章却说力可以沿作用线滑动而不用加力偶？

为什么必须附加力偶：力平行移动后，虽然大小方向不变（移动效应相同），但对原来位置的力矩改变了。为了不改变作用效果，必须补上一个力偶，其矩恰好等于原来的力对新作用点的矩（M = F·d）。

两个说法为什么都对：

  • 沿作用线滑动：作用线本身没有移动，力对任意点的力臂不变，力矩不变，所以不需要附加力偶。
  • 平行移动：作用线变了，力臂变了（差 d），力矩改变 F·d，所以必须附加力偶。

结论：沿作用线滑动是自由的；平行移动要付"力偶"的代价。

为什么平面汇交力系只有 2 个独立平衡方程，而平面任意力系有 3 个？

因为"取矩方程"在汇交力系中是自动满足的。

汇交力系中所有力的作用线都通过汇交点。若把取矩点选在汇交点，则每个力的力臂都为零， ΣMO(Fi) = 0 恒成立，不能提供新信息。所以只有 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0 两个独立方程。

同理，平面力偶系中 ΣFx 和 ΣFy 都自然满足（力偶在任意轴上投影为零）， 只剩 ΣM = 0 一个方程。

而平面任意力系的力既不汇交也不平行，三个方程相互独立，共 3 个。

力偶为什么"没有合力"？为什么"只能由力偶来平衡"？

没有合力：力偶由两个等值反向的力组成，它们的矢量和为零，所以不存在一个等效的单个力。（严格地说，如果一定要找"合力作用点"，那个点在无穷远处——这正说明它不能用一个有限的力表示。）

只能由力偶平衡：因为 ΣF = 0 已经由力偶本身满足，而 ΣM ≠ 0。要用别的力去平衡它，那些力必须提供反向的力矩；而任何能提供力矩的力系，若其矢量和为零，就必然构成一个力偶。

实际价值：这条性质直接告诉你，受纯力偶作用的物体，其约束力必定组成一个力偶——于是两个铰链处的 4 个未知分力瞬间降为 1 个未知量（见例 2-6、例 2-7）。

"组合梁"这类物体系题，为什么建议"先算附加部分，后算基础部分"？

因为这样能让每一步的方程里未知量尽可能少，避免解联立方程。

以课件例 3-8 为例：组合梁由（基础部分）AC 与（附加部分）BC 铰接。

  • 若先取附加部分 BC：它的一端是连杆支座 B（1 个未知量），另一端是中间铰 C（2 个未知量），共 3 个未知量对 3 个方程——可解，且取矩点选在 C 就能直接解出 FB。
  • 再取整体：此时 FB 已成已知量，整体只剩 A 处的 3 个未知量（FAx, FAy, MA），三个方程逐个解出。

如果反过来"先整体"，整体上会出现 A 处 3 个 + B 处 1 个 = 4 个未知量，而只有 3 个方程——解不出来，必须联立。

桁架题中，什么时候用节点法、什么时候用截面法？

节点法（逐个节点，每个节点是平面汇交力系、2 个方程）：

  • 需要求出全部或大部分杆件内力时；
  • 顺序：先整体求支座反力 → 从只有两个未知杆力的节点（通常是支座节点）开始 → 逐个推进 → 最后用一个节点校核。

截面法（假想截开，取一部分平衡，平面任意力系、3 个方程）：

  • 只求少数几根杆的内力时，效率远高于节点法；
  • 限制：一次最多截 3 根杆（否则未知量多于方程数）；
  • 技巧：取矩点选在两根被截杆的交点，让它们的力矩为零，直接解出第三根杆的内力（见例 3-13 中对 E 点取矩）。

两者都以"每根杆都是二力杆"为前提（由四点假设推出），所以杆件内力方向沿杆轴线，只有一个大小未知；负值代表受压。

怎么快速判断一个结构是静定还是超静定？

核心是比较未知量数目与独立方程数目：

未知量数 = 独立方程数 → 静定
未知量数 > 独立方程数 → 超静定
  • 数未知量：固定铰支座 2 个、活动铰支座 1 个、中间铰 2 个、固定端 3 个、二力杆 1 个。
  • 数方程：每个受平面任意力系作用的物体 3 个方程；受汇交力系或平行力系的物体方程数相应减少。若物系有 n 个物体，最多 3n 个。

例：简支梁 = 2（固定铰）+ 1（活动铰）= 3 个未知量，对 3 个方程 → 静定。
两端固定铰支的梁 = 2 + 2 = 4 个未知量 > 3 → 超静定。

超静定问题必须引入变形协调条件，已超出刚体静力学范围，属于材料力学与结构力学的内容。

分布荷载（均布荷载与三角形荷载）的合力和作用线位置怎么记？

两条通则：

  • 合力大小 = 荷载图的面积；
  • 合力作用线通过荷载图的形心。

于是可以立刻写出：

  • 均布荷载（矩形，集度 q，长度 l）：合力 = ql，作用线在中点。
  • 三角形荷载（最大集度 q，长度 l）：合力 = ql/2，作用线在距零集度端 2l/3 处（即距最大集度端 l/3 处）。

课件例 2-9 的推导正是这个结论的来源：由合力矩定理 P·h = ∫x·(qx/l)dx = ql²/3，代入 P = ql/2 得 h = 2l/3。

做题时最容易忘的是：即使把分布力合成了集中力，它对取矩点的力矩也必须计入。

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受力图是本章一切计算的前提，图错则全错。

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